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Partialbruchzerlegung Rechner: Online und Benutzerfreundlich


Partialbruchzerlegung Rechner








Oftmals, wenn wir mit algebraischen Problemen arbeiten, stehen wir vor relativ komplexen rationalen Funktionen. Der Partialbruchzerlegung Rechner, den wir hier vorstellen, ermöglicht es Ihnen, eine rationale Funktion in Partialbrüche zu zerlegen, indem Sie nur zwei einfache Schritte befolgen: (1) den Ausdruck eingeben und (2) die Schaltfläche mit der Bezeichnung ‚Partialbruchzerlegung‘ drücken.

Inhaltsverzeichnis


Partialbruchzerlegung Verfahren

Die Partialbruchzerlegung ist eine Technik, die verwendet wird, um einen komplexen algebraischen Bruch als Summe einfacherer Brüche auszudrücken. Dies erleichtert die Integration rationaler Funktionen und die Lösung linearer Differentialgleichungen. Der allgemeine Prozess beinhaltet die Zerlegung des Bruchs in eine Reihe einfacherer Partialbrüche, die einzeln gelöst werden können.

Es ist erforderlich, den Nenner des gegebenen algebraischen Ausdrucks zu faktorisieren, um die Gruppe der Partialbrüche zu erhalten.

     3x - 1     
————————————————
x2 - x - 2

     3x - 1     
————————————————
 (x + 1)(x - 2) 

  4/3  
———————
 x + 1 

  +  
  5/3  
———————
 x - 2

Jeder Faktor des Nenners eines rationalen Ausdrucks entspricht einem Partialbruch. Zum Beispiel hat die Funktion im vorherigen Beispiel zwei Faktoren im Nenner, und daher gibt es zwei Partialbrüche, einen mit dem Nenner (x + 1) und einen anderen mit dem Nenner (x – 2).

Vorgehen der Partialbruchzerlegung

Um eine rationale Funktion mithilfe der Methode der Partialbruchzerlegung oder Zerlegung in einfache Brüche vereinfachen zu können, müssen wir die folgenden Schritte anwenden:

Beispiel:

1(x−1)(x2+x+1)
  1. Inspektionieren Sie den Ausdruck, um festzustellen, ob es sich um einen echten oder unechten Bruch handelt. Falls der Ausdruck einen unechten Bruch darstellt, das heißt, wenn der Grad des Nenners kleiner ist als der Grad des Zählers, müssen Sie eine Polynomdivision durchführen. Für unser Problem hat der Nenner einen Grad von 3 und der Zähler einen Grad von 0, also sind wir bereit. In unserem Beispiel handelt es sich um einen echten Bruch.
  2. Faktorisiere den Zähler und den Nenner des Ausdrucks (oder des Rests, wenn einer im Schritt 1 erhalten wurde), und kürze jeden gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner. In unserem Beispiel kann bereits nicht weiter faktorisiert werden.
  3. Basierend auf den Faktoren des Nenners, schreiben Sie die entsprechenden Partialbrüche mit unbekannten Koeffizienten im Zähler.

Art der Nullstelle Ansatz
x0 ist einfache reelle Nullstelle Ax−x0
x0 ist k-fache reelle Nullstelle A1x−x0 + A2(x−x0)2 +...+ Ak(x−x0)k
x0 ist einfache nicht-reelle Nullstelle A1x+A2x2+ax+b
x0 ist k-fache nicht-reelle Nullstelle A1x+A2x2+ax+b + A1x+A2(x2+ax+b)2 +...+ A1x+A2(x2+ax+b)k

In unserem Beispiel haben wir:

   A   
———————
 x - 1 

  +  
   Bx + C   
————————————
 x2 + x + 1
  1. Mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs ermitteln wir die fehlenden Parameter.
   1   
————————————————————
(x-1)(x2 + x + 1 )


 = 
 A(x2+x+1)  +  (Bx+C)(x-1) 
———————————————————————————
           x3 - 1          



   1   
————————————————————
(x-1)(x2 + x + 1 )


 = 
 (A + B)x2  +  (A - B + C)x  +  (A - C) 
————————————————————————————————————————
                 x3 - 1
  1. Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:
Potenz
von x		Ansatz
mit den
unbekannten
Koeffizienten		gegebenes
Zähler-
polynom
 
x2: A  +  B = 0


x1: A - B  +  C = 0


x0: A - C = 1
  1. Wir lösen das Gleichungssystem, um die Werte der Koeffizienten zu erhalten. In unserem Beispiel haben wir:

A = 1/3
B = -1/3
C = -2/3

  1. Mit den Werten der Koeffizienten erhalten wir die Lösung der Partialbruchzerlegung:
  1/3  
———————
x - 1

  +  
-1/3 x - 2/3
—————————————————
  x2 + x + 1

Partialbruchzerlegung beispiele

Einfache Nullstelle des Nenners

5x(x2−1)

Der Nenner wird in lineare und quadratische Faktoren zerlegt, und gemeinsame Faktoren werden ignoriert.

            x       
5 · ————————————————
     (x - 1)(x + 1)

Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt:

   A   
———————
 x - 1 

  +  
   B   
———————
 x + 1

Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:

 A(x+1)  +  B(x-1) 
———————————————————
       x2 - 1

Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:

 (A + B)x  +  (A - B) 
——————————————————————
        x2 - 1

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:

Potenz
von x		Ansatz
mit den
unbekannten
Koeffizienten		gegebenes
Zähler-
polynom
 
x1: A  +  B = 1


x0: A - B = 0

Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:

A = 1/2
B = 1/2

Der zu Beginn ausgeklammerte Faktor 5 wird wieder eingebaut:

5·A = 5/2
5·B = 5/2

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:

  5/2  
———————
 x - 1 

  +  
  5/2  
———————
 x + 1

Doppelte Nullstelle im Nenner

3x-1(x−1)2

Der Nenner wird in lineare und quadratische Faktoren zerlegt, und gemeinsame Faktoren werden ignoriert.

  3x - 1  
——————————
 (x - 1)2

Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen:

   A   
———————
 x - 1 

  +  
     B    
——————————
 (x - 1)2

Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:

 A(x-1)  +  B(1) 
—————————————————
   x2 - 2x + 1

Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:

 Ax  +  (-A + B) 
—————————————————
   x2 - 2x + 1

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:

Potenz
von x		Ansatz
mit den
unbekannten
Koeffizienten		gegebenes
Zähler-
polynom
 
x1: A = 3


x0:- A  +  B = -1

Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:

A = 3
B = 2

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:

   3   
———————
 x - 1 

  +  
     2    
——————————
 (x - 1)2

Anwendungen der Methode der Partialbruchzerlegung

Die Methode der Partialbruchzerlegung hat vielfältige Anwendungen in verschiedenen mathematischen und ingenieurwissenschaftlichen Kontexten. Hier sind einige Schlüsselanwendungen:

  1. Integration von Rationalen Funktionen: Die Partialbruchzerlegung wird häufig verwendet, um komplexe rationale Funktionen in einfachere Brüche zu zerlegen. Dies erleichtert die Integration und ermöglicht die Anwendung von Standardintegralen.
  2. Regelungstechnik: In der Regelungstechnik spielt die Partialbruchzerlegung eine entscheidende Rolle bei der Analyse von Übertragungsfunktionen von Regelkreisen. Sie ermöglicht die Identifikation von Polen und Nullen, was für die Stabilitätsanalyse und -synthese von Systemen von großer Bedeutung ist.
  3. Lösung von Differentialgleichungen: Bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit Laplace-Transformation wird die Partialbruchzerlegung verwendet, um die inverse Laplace-Transformation auf einfache Teilbruchterme anzuwenden.
  4. Signalverarbeitung: In der Signalverarbeitung wird die Partialbruchzerlegung eingesetzt, um Übertragungsfunktionen zu analysieren. Dies ist besonders wichtig bei der Filterung und Modellierung von Signalen in verschiedenen Anwendungen wie Telekommunikation und Audioverarbeitung.
  5. Mathematische Modellierung: Bei der Entwicklung mathematischer Modelle für komplexe Systeme, wie in der Physik oder Biologie, kann die Partialbruchzerlegung verwendet werden, um Transferfunktionen zu extrahieren und das Verhalten des Systems zu verstehen.
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