Oftmals, wenn wir mit algebraischen Problemen arbeiten, stehen wir vor relativ komplexen rationalen Funktionen. Der Partialbruchzerlegung Rechner, den wir hier vorstellen, ermöglicht es Ihnen, eine rationale Funktion in Partialbrüche zu zerlegen, indem Sie nur zwei einfache Schritte befolgen: (1) den Ausdruck eingeben und (2) die Schaltfläche mit der Bezeichnung ‚Partialbruchzerlegung‘ drücken.
Die Partialbruchzerlegung ist eine Technik, die verwendet wird, um einen komplexen algebraischen Bruch als Summe einfacherer Brüche auszudrücken. Dies erleichtert die Integration rationaler Funktionen und die Lösung linearer Differentialgleichungen. Der allgemeine Prozess beinhaltet die Zerlegung des Bruchs in eine Reihe einfacherer Partialbrüche, die einzeln gelöst werden können.
Es ist erforderlich, den Nenner des gegebenen algebraischen Ausdrucks zu faktorisieren, um die Gruppe der Partialbrüche zu erhalten.
3x - 1 ———————————————— x2 - x - 2
3x - 1 ———————————————— (x + 1)(x - 2)
|
+ |
|
Jeder Faktor des Nenners eines rationalen Ausdrucks entspricht einem Partialbruch. Zum Beispiel hat die Funktion im vorherigen Beispiel zwei Faktoren im Nenner, und daher gibt es zwei Partialbrüche, einen mit dem Nenner (x + 1) und einen anderen mit dem Nenner (x – 2).
Um eine rationale Funktion mithilfe der Methode der Partialbruchzerlegung oder Zerlegung in einfache Brüche vereinfachen zu können, müssen wir die folgenden Schritte anwenden:
Beispiel:
| Art der Nullstelle | Ansatz | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x0 ist einfache reelle Nullstelle | Ax−x0 | ||||||
| x0 ist k-fache reelle Nullstelle | A1x−x0 + A2(x−x0)2 +...+ Ak(x−x0)k | ||||||
| x0 ist einfache nicht-reelle Nullstelle | A1x+A2x2+ax+b | ||||||
| x0 ist k-fache nicht-reelle Nullstelle | A1x+A2x2+ax+b + A1x+A2(x2+ax+b)2 +...+ A1x+A2(x2+ax+b)k | ||||||
In unserem Beispiel haben wir:
|
+ |
|
|
= |
|
|
= |
|
| Potenz von x | Ansatz mit den unbekannten Koeffizienten | gegebenes Zähler- polynom |
| x2: | A + B = | 0 |
| x1: | A - B + C = | 0 |
| x0: | A - C = | 1 |
A = 1/3
B = -1/3
C = -2/3
|
+ |
|
Der Nenner wird in lineare und quadratische Faktoren zerlegt, und gemeinsame Faktoren werden ignoriert.
x
5 · ————————————————
(x - 1)(x + 1)
Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt:
|
+ |
|
Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:
A(x+1) + B(x-1)
———————————————————
x2 - 1
Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:
(A + B)x + (A - B)
——————————————————————
x2 - 1
Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:
| Potenz von x | Ansatz mit den unbekannten Koeffizienten | gegebenes Zähler- polynom |
| x1: | A + B = | 1 |
| x0: | A - B = | 0 |
Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:
A = 1/2
B = 1/2
Der zu Beginn ausgeklammerte Faktor 5 wird wieder eingebaut:
5·A = 5/2
5·B = 5/2
Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:
|
+ |
|
Der Nenner wird in lineare und quadratische Faktoren zerlegt, und gemeinsame Faktoren werden ignoriert.
3x - 1
——————————
(x - 1)2
Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen:
|
+ |
|
Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:
A(x-1) + B(1)
—————————————————
x2 - 2x + 1
Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:
Ax + (-A + B)
—————————————————
x2 - 2x + 1
Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:
| Potenz von x | Ansatz mit den unbekannten Koeffizienten | gegebenes Zähler- polynom |
| x1: | A = | 3 |
| x0: | - A + B = | -1 |
Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:
A = 3
B = 2
Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:
|
+ |
|
Die Methode der Partialbruchzerlegung hat vielfältige Anwendungen in verschiedenen mathematischen und ingenieurwissenschaftlichen Kontexten. Hier sind einige Schlüsselanwendungen:
Integration von Rationalen Funktionen: Die Partialbruchzerlegung wird häufig verwendet, um komplexe rationale Funktionen in einfachere Brüche zu zerlegen. Dies erleichtert die Integration und ermöglicht die Anwendung von Standardintegralen.
Regelungstechnik: In der Regelungstechnik spielt die Partialbruchzerlegung eine entscheidende Rolle bei der Analyse von Übertragungsfunktionen von Regelkreisen. Sie ermöglicht die Identifikation von Polen und Nullen, was für die Stabilitätsanalyse und -synthese von Systemen von großer Bedeutung ist.
Lösung von Differentialgleichungen: Bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit Laplace-Transformation wird die Partialbruchzerlegung verwendet, um die inverse Laplace-Transformation auf einfache Teilbruchterme anzuwenden.
Signalverarbeitung: In der Signalverarbeitung wird die Partialbruchzerlegung eingesetzt, um Übertragungsfunktionen zu analysieren. Dies ist besonders wichtig bei der Filterung und Modellierung von Signalen in verschiedenen Anwendungen wie Telekommunikation und Audioverarbeitung.
Mathematische Modellierung: Bei der Entwicklung mathematischer Modelle für komplexe Systeme, wie in der Physik oder Biologie, kann die Partialbruchzerlegung verwendet werden, um Transferfunktionen zu extrahieren und das Verhalten des Systems zu verstehen.
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